论秦九韶的数学创新思维模式

秦九韶着《数书九章》不仅实现了中国古代数学的新高潮，而且在数学思维和数学推理上特别注重在继承中创新，形成中国古代数学思维模式的新亮点：明确提出创新思维，创设数学推理新模式“问——答——术——草——（图）”，强调“内算”与“外算”的统一，开创数学建模的综合方法，提出“数以实为体”的思想，系统提出与使用机械化数学证明方法。

自《九章算术》以来，中算典籍与数家大多未能摆脱《九章算术》体系、内容、方法的束缚，而秦九韶在《数书九章》[1]中却有十分突出的表现，在继承的基础之上，十分注重逻辑思维的创新. 这一点，从以下几方面足可证之.

1．继承中创新是秦九韶从事数学研究的出发点

秦九韶在《数书九章序》中就说：“汉去古未远，有张苍、许商、乘马延年、耿寿昌、郑玄、张衡、刘洪之伦，或明天道，而法传于后；或计功策，而效验于时. 后世学者自高，鄙之不讲，此学殆绝. 惟治历畴人，能为乘除，而弗通于开方衍变. 若官府会事，则府史一二系之. 算家位置，素所不识，上之人亦委而听焉. 持算者惟若人，则鄙之也宜矣. 呜呼！乐有制氏，仅记铿锵，而谓与天地同和者止于是，可乎？”由此看来，秦九韶认为数学不同于那种制造乐器式的机械性工作，而是谱写乐曲的创造性工作.

2．《数书九章》形式上以继承《九章算术》为主，内容上以创新为重

如从《数书九章》的章目与内容可比较如表1：

表1  《九章算术》与《数书九章》的比较

《九章算术》
《数书九章》

题目
内容
题目
内容

第一方田
田地面积计算问题
第一大衍
一次同余式组问题

第二粟米
谷米等比例计算问题
第二天时
天文、历法、气象等问题

第三衰分
按一定比率分配问题
第三田域
田地面积计算问题

第四少广
由面积、体积求边长问题
第四测望
勾股、重差、测量问题

第五商功
推算各种工程问题
第五赋役
田赋、税收问题

第六均输
赋税、徭役摊派问题
第六钱谷
粮谷转运和仓库问题

第七盈不足
应用假设、推理解问题
第七营建
建筑施工问题

第八方程
解一次方程组问题
第八军旅
兵营布置及供应问题

第九勾股
解直角三角形问题
第九市易
商品交易和利息问题

从形式上看，《数书九章》与《九章算术》均是九章，正文内容部分采用问题集形式，编写体例却不尽相同. 《九章算术》是“问→答→术”，而《数书九章》是“问→答→术→草→图”，况后者“术”有别于前者的“术”，后者之“术”事实上专指一般解法即一种数学论证模式：《数书九章》的术文大多沿用“以……”“置……”“先以……，次以……”等叙述模式.

从内容上，《数书九章》尽管包括《九章算术》所涉及部分内容，但大多数是创新，“大衍类”“天时类”是完全创新的内容，其他章节的内容也有不同程度的创新，白尚恕、李兆华二先生就认为：“《数书九章》的题具有这样一个特点，一方面是继承了《九章算术》题的规范性，一方面是向纵、横方向发展了这种规范性”，“秦氏（秦九韶）所用术名，其内涵较为广泛，不但继承了《九章算术》及刘徽之说，也使之有所发展”，“《数书九章》的解题方法特点之一是单独地或联合地运用《九章算术》的名术”，“还对《九章算术》中的某些解题方法予以发展. 虽然一般还沿用《九章算术》中的名称，但其内容与水平都超出原有的名术”[2]，如“今有术”、“开方术”、“盈不足术”、“方程术”等.

3. 明确提出创新思维

秦九韶在《数书九章序》中就说：“后世兴事造始，鲜能考度，浸浸乎天纪人事殽缺矣. 可不求其故哉？九韶愚陋，不闲于艺. 然早岁侍亲中都，因得访习于太史，又尝从隐君子受数学. ”这分明是说，秦九韶既主张“访习于太史”，从当时最具权威的天文历算那里深入学习历算，或者“又尝从隐君子受数学”，从隐居者那里领会“外算”与“内算”之一统，又主张广泛研习古典三十余家，对那些自傲之人批评道：“后世兴事造始，鲜能考度，浸浸乎天纪人事殽缺矣. 可不求其故哉？”当然，秦九韶更注重从社会实践中获得创新的启迪，《数书九章》所涉内容包括当时社会实践的方方面面：农业气象、田亩量度、工程测量、水利水文、赋税分配、建筑营造、货币金融、军事布阵、商业贸易等等，这充分说明秦九韶对社会生活的方方面面都倍加关注，事实也正是这样，秦九韶不仅是“他的民族、他所处的时代，以至一切时期的最伟大数学家之一”，而且“他多才多艺，性极机巧，星象、音律、算术以至营造等事无不精究，还学习过骈俪诗词，游戏、球、马、弓、剑，莫不能知. 流传至今的《数书九章》（原名《数术大略》），不仅是一部高水平数学专着，而且是南宋时期社会许多方面的缩影. ”[3]

4. 创设数学推理新模式：问——答——术——草——（图）

秦九韶在《数书九章》中没有照搬《九章算术》思维论证模式，而是在继承的基础上，形成了独具匠心的“问答术草图”五位一体的数学思维论证模式.

秦九韶在《数书九章序》中就明确指出：“信知夫物莫不有数也. 乃肆意其间，旁诹方能，探索杳渺，粗若有得焉. 所谓通神明，顺性命，固肤末于见；若其小者，窃尝设为问答，以拟于用. 积多而惜其弃，因取八十一题，厘为九类，立术具草，间以图发之. ”

《数书九章》所有81个问题大都按“问→答→术→草→图”的体例编排. “问”就是问题，“答”就是“答案”，“术”就是基本解法，“草”就是详细的运算论证过程或程序，“图”就是作出图示. 而这一编排体例反映了秦九韶数学论证思维的模式的基本结构：“设以问答”、“以拟于用”、“立术具草”、“以图发之”，用现代汉语诠释就是：从问题出发→给出答案（以备应用）→论述解法，建构模式，举一反三→写出程序→作出图示（一目了然，便于思维）. 即秦九韶提出了如图1所示的学术论证的思维模式：（略）图1  秦九韶提出的学术论证思维模式

5.强调“内算”与“外算”的统一

何谓“内算”、何谓“外算”？秦九韶《数书九章序》中就有明确的界定：

“今数术之书，尚三十余家. 天象历度、谓之缀术；太乙、壬、甲，谓之三式，皆曰内算，言其秘也. 九章所载，即周官九数，系于方圆者为惠术，皆曰外算，对内而言也. 其用相通，不可歧二. 独大衍法不载九章，未能推之者. 历家演法颇用之，以为方程者，误也. ”因此，所谓内算就是“缀术”和“三式”. “缀术”就是天象历法的计算方法，“三式”就是应用于占卜术的计算太乙、六壬、遁甲. 所谓外算就是九数（九章）以及有关测量方位、地形之高、深、远、近、宽的方法. 同时，秦九韶指出，“内算”与“外算”应用上彼此相通，不存在根本的分歧.

由此看来，以《九章算术》等为代表的外算法简单、寓理于算，不证自明，算法公开而易掌握. 而以缀术为代表的内算之书，算法复杂、程序性强，尽管寓理于算但不经专门学习难以掌握. 查有梁先生说，“缀术”即“逼近之术”，包括：分数逼近、几何逼近、代数—几何逼近、函数逼近、缀术求大等[4]. 但我认为“缀术”还可以理解为推垒之术或推理之术. 所谓“缀”也，也就是说，不吝其繁，一次又一次，再一次又再一次，循环相推，以至无穷. “缀术”，也就是关于如此思维模式的学问. 由此，“内算”一方面确有指具体的数学对象和数学内容，但更指数学论证的思维模式，这样的思维模式比较于“外算”，且得更具完备性、更具逻辑严密性、更具机械性.

6. 开创数学建模的综合方法

数学建模是一种逻辑性很强的综合方法，它“为解决特定的问题，在一定的抽象、简化、假设条件下，再现原型客体的某些本质特性；它是作为思维中介与论证程序，从而更好地认识和改造原型客体、构建新型客体的一种科学方法. 从实践出发概括、归纳、综合，可以提出各种模式，模式一经被证实，既有可能形成理论；也可以从理论出发，经类比、演绎、分析，提出各种模式，从而促进实践发展. 模式是客观实物的相拟模拟（实物模式），是真实世界的数量抽象描写（数学模式），是思想观念的形象显示（图像模式和语义模式）”[5].

秦九韶是如何认识“数学建模”这一综合数学方法呢？

他在《数书九章序》中就指出：“独大衍法不载九章，未有能推之者，历家演法颇用之，以为方程者误也. 且天下之事多矣，古之人先事而计，计定而行. 仰观俯察，人谋鬼谋，无所不用其谨. 是以不愆于成，载籍章章，可覆也”.

在这里，秦九韶强调像“大衍求一术”的模式化算法对于数学论证数学推演以及数学思想与数学方法的传承都至关重要. 为验证和实现他的认识，他在《数书九章》第一章就专题论述“大衍求一术”，第一章的9个问题以及第二章“治历演纪”问题都用“大衍求一术”来解决. 尽管秦九韶并没有明确提出“模式”或“建模”之类的概念，但从其论述与实践中可断定，秦九韶认识并善于应用“数学建模”之类（如“大衍求一术”）综合方法去解决数学问题.

《数书九章》对《周易》特别关注，不但大量摘引《周易》原文，而且以数学为工具深刻研究了《周易》所载的“蓍草占小”的过程，反过来又抽象为“数学模式”. 如果说《九章算术刘徽注》深受墨家影响的话，那么《数书九章》及作者秦九韶却深受《周易》之影响. 尽管不能说“大衍求一术”得源于《周易》但可以说《周易》曾经是秦九韶完善“大衍求一术”的一个重要材料，秦九韶在《数书九章序》中就已明确：“昆仑旁礴，道本虚一. 圣有大衍，征寓于易. 奇余取策，群数皆揖. 衍而究之，探隐知原. 数术之传，以实为体. 其书九章，惟兹弗纪. 历家虽用，用而不知. 小试经世，姑推所为. 述大衍第一. ”

7. 提出“数以实为体”的思想

《数书九章序》说：“数与道非二本”、“数术之传，以实为体”. 意思是说，数学与哲学本质一致、有相同的本体. 数学思想的传承以实际应用为纽带、为根本、为载体. 《数书九章》看，秦九韶对《周易》等中国古代哲学典籍有相当的研究，对数学与哲学关系的把握是创新的，正是入席，他才可能大胆使用中国哲学“类以合类”、“通类”、“推类”等思想与方法，以实际问题为基础，从中选择81个问题，归为九大类，而给予不同的解决.

8. 系统提出与使用机械化数学证明方法

吴文俊先生说“所谓东方数学的中国古代数学，具有两大特色，一是它的构造性，二是它的机械化”[2]. 诚然这样的构造性与机械化，从我国很早的数学证明中就已经开始，但系统介绍与使用数学构造性实现数学证明的机械化，还是从秦九韶开始的. 吴文俊先生在“从《数书九章》看中国传统数学构造性与机械化的特色”[6]一文中，从“质数与等数”、“增乘开方法与正负开方术”、“大衍总数术”三个方面论述了秦九韶如何提出与使用构造性与机械化的. 李继闵先生甚至认为：“秦九韶的大衍术在中国古代算法中是很典型的，其中包含着算法程序设计的许多基本方法与技巧，它们和现代电子计算机计算的程序设计在原理是相通的. 如果我们仿照现代程序设计的记号与图示将秦氏大衍术算法译成‘程序框图’，就会发现它与现代算法设计有令人惊奇的相似之处. ‘治历演纪术’是包含两个‘逻辑判断框’的分支程序，其判断条件（‘W≈0？’和‘K＜K※？’＝在原术中记述得十分明确. ‘大衍总数术’，是一个‘多重循环程序’，不过这里循环性表现为元的对称性. 秦九韶大衍术算法的设计，不仅逻辑结构合理，而且计算省便，从今天的眼光来看也是无所指责的”[7].

中国古代何以发展起这样的构造性机械化证明方法？这是一个值得思考的问题. 吴文俊先生说：“欧几里得创造了一套定义、公理、定理构成的逻辑推理演绎体系，自有其独到之处，但并不是必须按照这一格式才算是逻辑推理”[6]. 显然，中国传统数学中存在有别于欧几里得的独到逻辑推理，那就是“以类推类”. 不论秦九韶的“治历演纪术”，还是“大衍求一术”、“大衍总数术”，其方法的基础与出发点都有一个对概念、问题、数据进行分类、归类的环节，如“元数”、“收数”、“通数”、“复数”、“定数”、“衍母”、“衍数”、“奇数”、“用数”、“等数”、“蔀数”等概念的定义、归类，并且每一个机械化证明的环节也就是从一类数据推导另一类数据的过程. 因此，笔者认为，秦九韶的构造性与机械化证明，其逻辑基础与方法仍然采用的是中国逻辑“以类推类”的思想.

总之，秦九韶全面继承并创新了中国传统数学的自身逻辑思路，“大衍总数术”就是一个典型. “大衍总数术”先采用许多概念：问数、元数、收数、通数和复数“四格”，运用转化思维，将问题数据标准化. 接着，引进专门术语，定数、衍母、衍数……按剩余定理确定演算程序. “大衍总数术”实际上是一个“多重循环程序”，其算法设计，不仅逻辑合理，而且计算省便. 傅海伦先生甚至把大衍术求定数算法转化成现代计算机程序，得出的结论与我们的观点相一致：“秦九韶大衍总数术程序框图是由多重循环语句和分支结构组成的，包含着算法程序设计的许多基本方法和技巧，其中求定数的程序与现代计算机的程序设计在原理上是相通的”[8].

另外，很值得提及的是，根据秦九韶的机械化证明方法与几何问题代数化证明方法的思想，吴文俊院士从20世纪70-80年代起发明了数学定理的计算机机器证明方法，开创了当今数学的崭新领域，实现了中国传统数学的现实飞跃. 这不能不说秦九韶数学方法的永恒生命性.

参考文献：

[1]秦九韶.数书九章[A]，中国历代算学集成[C].靖玉树.济南:山东人民出版社,1994:467.

[2]吴文俊.秦九韶与《数书九章》[M].北京:北京师范大学出版社,1987.110-114.

[3]李迪.杰出数学家秦九韶.序一[A].杰出数学家秦九韶[M].北京:科学出版社,2003:1.

[4]查有梁等.杰出数学家秦九韶[M].北京:科学出版社,2003:52-53.

[5]查有梁.教育建模.桂林:广西教育出版社,2001:5.

[6]吴文俊.从《数书九章》看中国传统数学构造性与机械化的特色[A].秦九韶与数书九章[M].北京:北京师范大学出版社,1987:74-88.

[7]李继闵.从“演纪之法”与“大衍总数术”看秦九韶在算法上的成就[A].秦九韶与数书九章[M].北京:北京师范大学出版社,1987:213-215.

[8]傅海伦.大衍术中求定数算法的现代计算机程序设计[J].山东师大学报(自然科学版).2000,(1):10-15.

（已经在《浙江万里学院学报》第18卷 第2期，2005发表）